Интерактивная оболочка#
Почти всегда в этом руководстве мы предполагаем, что интерпретатор
Sage был запущен командой sage. Она запустит специальную версию
консоли IPython и импортирует множество функций и классов, так что
они готовы для использования в командной строке. Более тонкая настройка
производится редактированием файла $SAGE_ROOT/ipythonrc. При запуске
Sage вы увидите вывод, похожий на следующий:
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SageMath version 9.7, Release Date: 2022-01-10 │
│ Using Python 3.10.4. Type "help()" for help. │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage:
Чтобы выйти из Sage, нажмите Ctrl-D или введите quit или exit.
sage: quit
Exiting Sage (CPU time 0m0.00s, Wall time 0m0.89s)
Wall time — это прошедшее время. Это значение верно, потому как в «CPU time» не входит время, использованное субпроцессами вроде GAP или Singular.
(Постарайтесь не убивать процесс Sage командой kill -9 из терминала,
потому что Sage может не убить дочерние процессы, такие как Maple, или может
не очистить временные файлы из директории $HOME/.sage/tmp.)
Ваша сессия Sage#
Сессия — это последовательность вводов и выводов начиная с запуска программы
и заканчивая выходом из нее. Sage заносит всю историю вводов в log-файл,
используя IPython. Если вы используете интерактивную оболочку (не веб-интерфейс
Notebook), то вы можете ввести %hist, чтобы вывести список всех введенных
команд. Вы можете ввести ? в командной строке Sage, чтобы получить больше
информации о IPython, например,
«IPython предоставляет пронумерованные командные строки… с кешированием ввода и вывода. Все введенные данные сохраняются и могут быть использованы как переменные (помимо обычного вызова с помощью стрелок). Следующие глобальные переменные присутствуют всегда (не перезаписывайте их!)»:
_: previous input (interactive shell and notebook)
__: next previous input (interactive shell only)
_oh : list of all inputs (interactive shell only)
Пример:
sage: factor(100)
_1 = 2^2 * 5^2
sage: kronecker_symbol(3,5)
_2 = -1
sage: %hist # Работает только в интерактивной оболочке, но не в Sage notebook.
1: factor(100)
2: kronecker_symbol(3,5)
3: %hist
sage: _oh
_4 = {1: 2^2 * 5^2, 2: -1}
sage: _i1
_5 = 'factor(ZZ(100))\n'
sage: eval(_i1)
_6 = 2^2 * 5^2
sage: %hist
1: factor(100)
2: kronecker_symbol(3,5)
3: %hist
4: _oh
5: _i1
6: eval(_i1)
7: %hist
Мы не включаем номера строк в этом учебном пособии и в другой документации Sage.
Вы также можете хранить список введенных команд сессии в виде макроса для сессии.
sage: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5])
sage: M = ModularSymbols(37)
sage: %hist
1: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5])
2: M = ModularSymbols(37)
3: %hist
sage: %macro em 1-2
Macro `em` created. To execute, type its name (without quotes).
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 over
Rational Field
sage: E = 5
sage: M = None
sage: em
Executing Macro...
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 over
Rational Field
При использовании интерактивной оболочки Sage, любая UNIX-команда может быть
запущена с помощью префикса !. Например
sage: !ls
auto example.sage glossary.tex t tmp tut.log tut.tex
возвращает содержание текущей директории.
Переменная PATH сожержит директорию bin (бинарные файлы) в самом начале,
так что если вы запускаете gp, gap, singular, maxima, и т.д.
вы получаете версии, включенные в Sage.
sage: !gp
Reading GPRC: /etc/gprc ...Done.
GP/PARI CALCULATOR Version 2.2.11 (alpha)
i686 running linux (ix86/GMP-4.1.4 kernel) 32-bit version
...
sage: !singular
SINGULAR / Development
A Computer Algebra System for Polynomial Computations / version 3-0-1
0<
by: G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schoenemann \ October 2005
FB Mathematik der Universitaet, D-67653 Kaiserslautern \
Журналирование ввода и вывода#
Журналирование сессии Sage это не то же самое, что сохрнанение
сессии (см. Сохранение и загрузка полных сессий для этого). Для журналирования ввода (и, опционально,
вывода), используйте команду logstart. Введите logstart? для подробностей.
Вы можете использовать эту команду для журналирования всего, что вы вводите, всего
вывода, и даже можете воспроизвести введенные данные в будущей сессии (просто
загрузив log-файл).
was@form:~$ sage
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SageMath version 9.7, Release Date: 2022-01-10 │
│ Using Python 3.10.4. Type "help()" for help. │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage: logstart setup
Activating auto-logging. Current session state plus future input saved.
Filename : setup
Mode : backup
Output logging : False
Timestamping : False
State : active
sage: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5]).minimal_model()
sage: F = QQ^3
sage: x,y = QQ['x,y'].gens()
sage: G = E.gens()
sage:
Exiting Sage (CPU time 0m0.61s, Wall time 0m50.39s).
was@form:~$ sage
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SageMath version 9.7, Release Date: 2022-01-10 │
│ Using Python 3.10.4. Type "help()" for help. │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage: load("setup")
Loading log file <setup> one line at a time...
Finished replaying log file <setup>
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - x^2 + 4*x + 3 over Rational
Field
sage: x*y
x*y
sage: G
[(2 : 3 : 1)]
Если вы используете Sage в konsole — терминале среды KDE в GNU/Linux —
тогда вы можете сохранить сессию следующим образом: после запуска Sage в
konsole, выберите «settings», потом «history…», потом «set unlimited».
Когда вы готовы сохранить сессию, выберите «edit» и «save history as…» и
введите имя файла для сохранения. После этого вы можете воспользоваться
любым текстовым редактором, например xemacs, для чтения файла.
Вставка игнорирует приглашение#
Допустим, вы читаете сессию Sage или вычисления Python, и хотите скопировать
их в Sage. Но есть одна проблема: знаки >>> или sage:. На самом деле
вы можете копировать и вставлять примеры, которые включают эти знаки. Дргуими
словами, Sage игнорирует символы >>> или sage: перед отправкой команд
в Python. Например,
sage: 2^10
1024
sage: sage: sage: 2^10
1024
sage: >>> 2^10
1024
Команды измерения времени#
Если вы введете команду %time в начале строки ввода, то время,
затраченное на выполнение операции, будет выведено на экран. Например, вы
можете измерить время выполнения операции возведения в степень несколькими
путями. Показания ниже будут отличаться от ваших; они могут отличаться даже
в разных версиях Sage. Чистый Python:
sage: %time a = int(1938)^int(99484)
CPU times: user 0.66 s, sys: 0.00 s, total: 0.66 s
Wall time: 0.66
Это означает что 0.66 секунд было затрачено в сумме, а «Wall time», (прошедшее время), тоже 0.66 секунд. Если ваш компьютер сильно загружен другими процессами, то «Wall time» может сильно отличаться от процессорного времени.
Далее мы посчитаем время возведения в степень с использованием встроенного в Sage целочисленного типа данных, реализованного (в Cython) с использованием библиотеки GMP:
sage: %time a = 1938^99484
CPU times: user 0.04 s, sys: 0.00 s, total: 0.04 s
Wall time: 0.04
Используя интерфейс PARI из библиотеки C:
sage: %time a = pari(1938)^pari(99484)
CPU times: user 0.05 s, sys: 0.00 s, total: 0.05 s
Wall time: 0.05
GMP ведет себя лучше, но только немного (как и ожидалось, ведь версия PARI, встроенная в Sage, использует GMP для работы с целыми числами).
Вы также можете замерить время выполнения блока команд с помощью cputime,
как показано ниже:
sage: t = cputime()
sage: a = int(1938)^int(99484)
sage: b = 1938^99484
sage: c = pari(1938)^pari(99484)
sage: cputime(t) # random output
0.64
sage: cputime?
...
Return the time in CPU second since Sage started, or with optional
argument t, return the time since time t.
INPUT:
t -- (optional) float, time in CPU seconds
OUTPUT:
float -- time in CPU seconds
Команда walltime ведет себя так же, как cputime, но она измеряет
настоящее время.
Мы также можем возвести число в степень, используя системы компьютерной алгебры, включённые в Sage. В каждом случае мы запускаем простую команду в системе чтобы запустить сервер для этой программы. Самое точное - время это Wall time. Однако, если существует существенная разница между этим значением и процессорным временем (CPU time), то, возможно, есть смысл проверить систему на наличие проблем производительности.
sage: time 1938^99484;
CPU times: user 0.01 s, sys: 0.00 s, total: 0.01 s
Wall time: 0.01
sage: gp(0)
0
sage: time g = gp('1938^99484')
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.04
sage: maxima(0)
0
sage: time g = maxima('1938^99484')
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.30
sage: kash(0)
0
sage: time g = kash('1938^99484')
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.04
sage: mathematica(0)
0
sage: time g = mathematica('1938^99484')
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.03
sage: maple(0)
0
sage: time g = maple('1938^99484')
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.11
sage: gap(0)
0
sage: time g = gap.eval('1938^99484;;')
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 1.02
Заметьте, что GAP и Maxima являются самыми медленными в этом тесте (тест
был проведен на машине sage.math.washington.edu). Так как они работают
с другим интерфейсом, надстроенным над ними, судить об абсолютной
производительности этих систем не стоит.
Ошибки и исключения#
Когда что-то идет не так, обычно можно увидеть исключение Python (Python
«exception»). Python даже попытается предположить, что вызвало ошибку. Часто
вы можете видеть имя исключения, например, NameError или ValueError
(см. Python Library Reference [PyLR] для полного списка исключений). Например,
sage: 3_2
------------------------------------------------------------
File "<console>", line 1
ZZ(3)_2
^
SyntaxError: invalid ...
sage: EllipticCurve([0,infinity])
------------------------------------------------------------
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: Unable to coerce Infinity (<class 'sage...Infinity'>) to Rational
Интерактивный отладчик может быть полезным для понимая того, что пошло не так.
Отладчик можно включать или выключать командой %pdb (по умолчанию он
выключен). Приглашение командной строки ipdb> появляется на экране,
если случилось исключение и отладчик был включен. Из отладчика вы можете
вывести на экран состояние любой локальной переменной и двигаться вверх и вниз
по стеку (execution stack). Например,
sage: %pdb
Automatic pdb calling has been turned ON
sage: EllipticCurve([1,infinity])
---------------------------------------------------------------------------
<class 'exceptions.TypeError'> Traceback (most recent call last)
...
ipdb>
Для получения списка команд отладчика введите ? в командной строке ipdb>:
ipdb> ?
Documented commands (type help <topic>):
========================================
EOF break commands debug h l pdef quit tbreak
a bt condition disable help list pdoc r u
alias c cont down ignore n pinfo return unalias
args cl continue enable j next pp s up
b clear d exit jump p q step w
whatis where
Miscellaneous help topics:
==========================
exec pdb
Undocumented commands:
======================
retval rv
Нажмите Ctrl-D или введите quit чтобы вернуться в Sage.
Обратный поиск и автодополнение#
Сначала создадим трехмерное векторное пространство \(V=\QQ^3\) следующим образом:
sage: V = VectorSpace(QQ,3)
sage: V
Vector space of dimension 3 over Rational Field
Можно использовать сокращенное обозначение:
sage: V = QQ^3
Введите начало команды, потом нажмите Ctrl-p (или просто нажмите
стрелку вверх на клавиатуре) чтобы вернуться к любой из строк, которые
вы вводили, начинающейся с таких же символов. Это работает даже если вы
полность вышли из Sage и перезапустили его позже. Можно использовать и
обратный поиск по истории команд с помощью Ctrl-r. Все эти возможности
используют пакет readline который доступен почти на всех разновидностях
GNU/Linux.
Можно с легкостью вывести список всех функций для \(V\), используя
автодополнение. Просто введите V., потом нажмите [TAB] на своей
клавиатуре:
sage: V.[tab key]
V._VectorSpace_generic__base_field
...
V.ambient_space
V.base_field
V.base_ring
V.basis
V.coordinates
...
V.zero_vector
Если вы введете первые несколько символов команды, а потом нажмёте [TAB],
вы получите функции, которые начинаются с этих символов.
sage: V.i[tab key]
V.is_ambient V.is_dense V.is_full V.is_sparse
Если вам интересно, что делает какая-нибудь функция, например coordinates,
введите V.coordinates? для получения справки или V.coordinates?? для
получения исходного кода (объясняется в следующем разделе).
Встроенная справочная система#
Sage обладает встроенной справочной системой. Введите название функции со знаком ? для доступа к документации по этой функции.
sage: V = QQ^3
sage: V.coordinates?
Type: instancemethod
Base Class: <class 'instancemethod'>
String Form: <bound method FreeModule_ambient_field.coordinates of Vector
space of dimension 3 over Rational Field>
Namespace: Interactive
File: /home/was/s/local/lib/python2.4/site-packages/sage/modules/f
ree_module.py
Definition: V.coordinates(self, v)
Docstring:
Write v in terms of the basis for self.
Returns a list c such that if B is the basis for self, then
sum c_i B_i = v.
If v is not in self, raises an ArithmeticError exception.
EXAMPLES:
sage: M = FreeModule(IntegerRing(), 2); M0,M1=M.gens()
sage: W = M.submodule([M0 + M1, M0 - 2*M1])
sage: W.coordinates(2*M0-M1)
[2, -1]
Как показано выше, вывод показывает тип объекта, файл, в котором он определен и полезное описание функции с примерами, которые можно вставить в вашу текущую сессию. Почти все примеры подвергаются регулярной автоматической проверке на предмет работоспособности и наличия требуемого поведения.
Другая возможность хорошо отражает дух открытого программного обеспечения:
если f это функция Python’а, то f?? выведет исходный код, который
определяет f. Например,
sage: V = QQ^3
sage: V.coordinates??
Type: instancemethod
...
Source:
def coordinates(self, v):
"""
Write $v$ in terms of the basis for self.
...
"""
return self.coordinate_vector(v).list()
Отсюда мы знаем, что все, что делает функция coordinates, это вызов функции
coordinate_vector и превращает результат в список. Что делает функция
coordinate_vector?
sage: V = QQ^3
sage: V.coordinate_vector??
...
def coordinate_vector(self, v):
...
return self.ambient_vector_space()(v)
Функция coordinate_vector удерживает введенные значения во внешнем
пространстве, что позволяет добиться такого же эффекта, как при вычислении
вектора коэффициентов переменной \(v\) с точки зрения \(V\).
Пространство \(V\) уже внешнее, так как оно является \(\QQ^3\).
Существует также функция coordinate_vector для подпространств, и она
ведет себя по-иному. Мы создим подпространство и посмотрим:
sage: V = QQ^3; W = V.span_of_basis([V.0, V.1])
sage: W.coordinate_vector??
...
def coordinate_vector(self, v):
"""
...
"""
# First find the coordinates of v wrt echelon basis.
w = self.echelon_coordinate_vector(v)
# Next use transformation matrix from echelon basis to
# user basis.
T = self.echelon_to_user_matrix()
return T.linear_combination_of_rows(w)
(Если вы считаете, что существующая реализация неэффективна, пожалуйста, зарегистрируйтесь и помогите оптимизировать линейную алгебру.)
Вы также можете ввести help(имя_команды) или help(класс) для
получения справки о классах или функциях в стиле man-страниц.
sage: help(VectorSpace)
Help on class VectorSpace ...
class VectorSpace(__builtin__.object)
| Create a Vector Space.
|
| To create an ambient space over a field with given dimension
| using the calling syntax ...
:
:
Когда вы вводите q для выхода из справочной системы, ваша сессия
находится в том же состоянии, что и до этого. Справка не захламляет ваш
экран, в отличие от формы function_name?, которая иногда может
оставлять информацию в вашей сессии. Особенно полезно использовать
help(module_name). Например, векторные пространства описаны в
sage.modules.free_module, поэтому введите help(sage.modules.free_module)
для документации обо всем модуле. Когда вы просматриваете документацию в
справочной системе, вы можете осуществлять поиск с помощью / и в обратном
порядке с помощью ?.
Сохранение и загрузка отдельных объектов#
Допустим вы вычислили матрицу или хуже: сложное пространство модулярных символов, и хотите сохранить его для работы в будущем. Как это сделать? Есть несколько способов, которыми компьютерные алгебры пользуются для сохранения объектов.
Сохранить игру: Поддерживается сохранение и загрузка только полных сессий (например, GAP, Magma).
Унифицированный ввод/вывод: Вывод объектов на экран в таком виде, в котором они могут быть считаны позже. (GP/PARI).
Eval: Легкий способ запуска любого кода в интерпретаторе (например, Singular, PARI).
Так как Sage построен на Python’е, он использует иной подход: каждый объект может быть превращен в строку, из которой в последствии можно восстановить объект. Способ схож со способом унификации ввода и вывода, как в PARI, но в случае с Sage нет необходимости выводить объект на экран в самой неудобной форме. Также, поддержка сохранения и загрузки (в большинстве случаев) полностью автоматична, не требует дополнительного программирования; это просто возможность Python’а, которая была включена в язык с самого начала.
Почти любой объект x может быть сохранен в сжатой форме на диск при помощи команды „“save(x, filename)““ (или во многих случаях „“x.save(filename)““). Для загрузки объекта введите „“load(filename)““.
sage: A = MatrixSpace(QQ,3)(range(9))^2
sage: A
[ 15 18 21]
[ 42 54 66]
[ 69 90 111]
sage: save(A, 'A')
Теперь выйдите из Sage и перезапустите. Теперь вы можете получить „“A““ обратно:
sage: A = load('A')
sage: A
[ 15 18 21]
[ 42 54 66]
[ 69 90 111]
То же самое можно делать и с более сложными объектами, например эллиптическими кривыми. Вся информация об объекте (которая находится в кеше) сохраняется вместе с объектом. Например,
sage: E = EllipticCurve('11a')
sage: v = E.anlist(100000) # требует некоторого времени...
sage: save(E, 'E')
sage: quit
Сохраненная версия E занимает 153 килобита, так как в нем содержатся первые
100000 \(a_n\).
~/tmp$ ls -l E.sobj
-rw-r--r-- 1 was was 153500 2006-01-28 19:23 E.sobj
~/tmp$ sage [...]
sage: E = load('E')
sage: v = E.anlist(100000) # моментально!
(В Python, сохранение и загрузка осуществляется модулем cPickle. Объект
Sage x может быть сохранен с помощью cPickle.dumps(x, 2). Обратите
внимание на 2!)
Sage не может сохранять и загружать объекты, созданные в других системах компьютерной алгебры, таких как GAP, Singular, Maxima и пр. Они загружаются в состоянии, которое помечено как «invalid». Хотя, в GAP многие объекты выводятся в форме, из которой их потом можно восстановить, но многие не выводятся в такой форме, поэтому их восстановление из такого вида нарочно запрещено.
sage: a = gap(2)
sage: a.save('a')
sage: load('a')
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: The session in which this object was defined is no longer
running.
Объекты GP/PARI могут быть сохранены и загружены, так как их вид при выводе на экран достаточен для восстановления объекта.
sage: a = gp(2)
sage: a.save('a')
sage: load('a')
2
Сохраненные объекты могут быть загружены позже на компьютерах с другой
архитектурой или операционной системой, например, вы можете сохранить
огромную матрицу в 32-битной OS X и загрузить ее в 64-битную GNU/Linux,
привести к ступенчатой форме и переместить обратно. Также во многих случаях
вы можете загружать объекты в версии Sage, отличные от версии, на которой
они были сохранены. Все атрибуты объекта сохраняются вместе с классом (но не
включая исходный код), который описывает объект. Если класс более не существует
в новой версии Sage, тогда объект не может быть загружен в эту новую версию.
Но если вы загрузите ее на версию ниже, получите словарь объектов (с помощью
x.__dict__) и сохраните словарь, то сможете загрузить его в новую версию.
Сохранение в виде текста#
Вы также можете сохранять объекты в виде набора ASCII символов в простой текстовый файл простым открытием файла и сохранением строки, которая выражает (описывает) объект (вы можете записывать несколько объектов). Не забудьте закрыть файл после добавления данных.
sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ,2)
sage: f = (x+y)^7
sage: o = open('file.txt','w')
sage: o.write(str(f))
sage: o.close()
Сохранение и загрузка полных сессий#
Sage обладает очень гибкими возможностями сохранения и загрузки полных сессий.
Команда save_session(sessionname) сохраняет все переменные, которые
вы задали в текущей сессии в виде словаря в заданном sessionname. (В редком
случае, когда объект не поддерживает сохранения, он просто не будет включен
в словарь.) В результате будет создан файл с расширением .sobj и может быть
загружен как любой другой объект. Когда вы загружаете сохраненные объекты в
сессию, вы получаете словарь, ключами которого являются имена переменных, а
значениями — объекты.
Вы можете использовать команду load_session(sessionname), чтобы загрузить
переменные, описанные в sessionname, в текущую сессию. Заметьте, что это
не удаляет переменные, заданные в этой сессии. Вместо этого, две сессии
объединяются.
Для начала запустим Sage и зададим несколько переменных.
sage: E = EllipticCurve('11a')
sage: M = ModularSymbols(37)
sage: a = 389
sage: t = M.T(2003).matrix(); t.charpoly().factor()
_4 = (x - 2004) * (x - 12)^2 * (x + 54)^2
Далее, сохраним нашу сессию, что включит в себя сохранение всех заданных выше переменных в файл. Потом мы проверим информацию о файле. Его размер — 3 килобайта.
sage: save_session('misc')
Saving a
Saving M
Saving t
Saving E
sage: quit
was@form:~/tmp$ ls -l misc.sobj
-rw-r--r-- 1 was was 2979 2006-01-28 19:47 misc.sobj
Наконец, мы перезапустим Sage, зададим дополнительную переменную и загрузим сохраненную сессию.
sage: b = 19
sage: load_session('misc')
Loading a
Loading M
Loading E
Loading t
Каждая сохраненная переменная снова является переменной. Кроме того, переменная
b не была перезаписана.
sage: M
Full Modular Symbols space for Gamma_0(37) of weight 2 with sign 0
and dimension 5 over Rational Field
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational
Field
sage: b
19
sage: a
389