Polinômios#
Nesta seção vamos ilustrar como criar e usar polinômios no Sage.
Polinômios em Uma Variável#
Existem três formas de criar anéis de polinômios.
sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field
Esse comando cria um anel de polinômios e diz para o Sage usar a letra
‘t’ para representar a variável indeterminada quando imprimir na tela.
Todavia, isso não define o símbolo t para uso no Sage, logo você
não pode usá-lo para definir um polinômio (como \(t^2+1\))
pertencente a R.
Uma forma alternativa é
sage: S = QQ['t']
sage: S == R
True
As mesmas observações com respeito a t valem também nesse caso.
Uma terceira e conveniente forma de definir polinômios é
sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)
ou
sage: R.<t> = QQ['t']
ou ainda
sage: R.<t> = QQ[]
Isso tem o efeito colateral de definir a variável t como a
variável indeterminada do anel de polinômios, logo você pode
facilmente construir elementos de R da seguinte forma. (Note que
essa terceira alternativa é muito semelhante à notação usada em Magma,
e da mesma forma que no Magma ela pode ser usada para diversos tipos
de objetos.)
sage: poly = (t+1) * (t+2); poly
t^2 + 3*t + 2
sage: poly in R
True
Qualquer que seja o método usado para definir um anel de polinômios, você pode recuperar a variável indeterminada como o \(0\)-ésimo gerador:
sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: t = R.0
sage: t in R
True
Note que uma construção similar funciona com os números complexos: os
números complexos podem ser vistos como sendo gerados pelo símbolo
i sobre os números reais; logo temos o seguinte:
sage: CC
Complex Field with 53 bits of precision
sage: CC.0 # 0th generator of CC
1.00000000000000*I
Para anel de polinômios, você pode obter tanto o anel como o seu gerador, ou somente o gerador, no momento em que o anel for criado, da seguinte forma:
sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: t = QQ['t'].gen()
sage: R, t = objgen(QQ['t'])
sage: t = gen(QQ['t'])
Finalmente apresentamos um pouco de aritmética em \(\QQ[t]\).
sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
sage: f^2
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
sage: g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9
+ 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
sage: F = factor(g); F
(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
sage: F.unit()
7
sage: list(F)
[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]
Note que a fatorização corretamente leva em conta e armazena a parte unitária.
Se você fosse usar, por exemplo, a função R.cyclotomic_polynomial
intensamente para algum projeto de pesquisa, além de citar o Sage,
você deveria tentar descobrir qual componente do Sage é de fato usado
para calcular esses polinômios, e citá-lo também. Nesse caso, se você
digitar R.cyclotomic_polynomial?? para ver o código fonte, você
irá facilmente ver uma linha f = pari.polcyclo(n) o que significa
que o PARI é usado para o cálculo dos polinômios ciclotrômicos. Cite o
PARI também no seu trabalho.
Dividindo dois polinômios cria-se um elemento do corpo de frações (o qual o Sage cria automaticamente).
sage: x = QQ['x'].0
sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
sage: h = f/g; h
(x^3 + 1)/(x^2 - 17)
sage: h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
Usando-se a série de Laurent, pode-se calcular a expansão em série no
corpo de frações de QQ[x]:
sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field
sage: 1/(1-x) + O(x^10)
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)
Se nomearmos a variável de outra forma, obtemos um anel de polinômios em uma variável diferente.
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
sage: x == y
False
sage: R == S
False
sage: R(y)
x
sage: R(y^2 - 17)
x^2 - 17
O anel é determinado pela variável. Note que criar um outro anel com
variável indeterminada x não retorna um anel diferente.
sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: R == T
True
sage: R is T
True
sage: R.0 == T.0
True
O Sage também possui suporte para séries de potências e séries de Laurent sobre um anel arbitrário. No seguinte exemplo, nós criamos um elemento de \(\GF{7}[[T]]\) e dividimos para criar um elemento de \(\GF{7}((T))\).
sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
sage: f = T + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
sage: f^3
T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
sage: 1/f
T^-1 + 4 + T + O(T^2)
sage: parent(1/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7
Você também pode criar anéis de polinômios usando a notação de colchetes duplos:
sage: GF(7)[['T']]
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
Polinômios em Mais De Uma Variável#
Para trabalhar com polinômios em várias variáveis, nós primeiro declaramos o anel de polinômios e as variáveis.
sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # here, 3 = number of variables
sage: R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
Da mesma forma como ocorre com polinômios em uma variável, existem três maneiras de fazer isso:
sage: GF(5)['z0, z1, z2']
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
Se você quiser usar os nomes das variáveis com apenas uma letra, então você pode usar os seguinte comando:
sage: PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz')
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5
A seguir fazemos um pouco de aritmética.
sage: z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()
sage: z
(z0, z1, z2)
sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2
z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2
Você também pode usar uma notação mais matemática para criar um anel de polinômios.
sage: R = GF(5)['x,y,z']
sage: x,y,z = R.gens()
sage: QQ['x']
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: QQ['x,y'].gens()
(x, y)
sage: QQ['x'].objgens()
(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))
Polinômios em mais de uma variável são implementados no Sage usando dicionários em Python e a “representação distribuída” de um polinômio. O Sage usa o Singular [Si], por exemplo, para o cálculo do maior divisor comum e bases de Gröbner para ideais algébricos.
sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
sage: g = x^2*y^2
sage: f.gcd(g)
x^2
A seguir criamos o ideal \((f,g)\) gerado por \(f\) e
\(g\), simplesmente multiplicando (f,g) por R (nós
poderíamos também escrever ideal([f,g]) ou ideal(f,g)).
sage: I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field
sage: B = I.groebner_basis(); B
[x^6, x^2*y^2]
sage: x^2 in I
False
A base de Gröbner acima não é uma lista mas sim uma sequência imutável. Isso implica que ela possui universo (universe) e parente (parent), e não pode ser modificada (o que é bom pois ocasionaria erros em outras rotinas que usam bases de Gröbner).
sage: B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage: B[1] = x
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.
Um pouco (não tanto quanto gostaríamos) de álgebra comutativa está disponível no Sage, implementado via Singular. Por exemplo, podemos calcular a decomposição primaria e primos associados de \(I\):
sage: I.primary_decomposition()
[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
sage: I.associated_primes()
[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]